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完了，对不起各位，这是个意外，我本来计划写完再发的，结果不小心点到提交了 。我公式编辑器还用得不熟，再加上时间不够，这样的话可能更得很慢……我每天写一点，我尽量一周内写完。

那么继续第一部分的第三点：

由此规范，我们有：

欧拉运动学方程：

\(\omega_{1} =\dot{\varphi}sin(\theta)sin(\psi)+\dot{\theta}cos(\psi)\) (1.2.1)

\(\omega_{2} =\dot{\varphi}sin(\theta)cos(\psi)-\dot{\theta}sin(\psi)\) (1.2.2)

\(\omega_{3} =\dot{\varphi}cos(\theta)+\dot{\psi}\)(1.2.3)

定点转动角动量：

\(\vec{L} = I_{1}\omega_{1}\vec{e_{1}}+I_{2}\omega_{2}\vec{e_{2}}+I_{3}\omega_{3}\vec{e_{3}}\)(1.3)

定点转动动能：

\(T = \frac{1}{2}(I_{1}\omega_{1}^{2}+I_{2}\omega_{2}^{2}+I_{3}\omega_{3}^{2})\)(1.4)

那么，由能量守恒\(T + V = E\)得：

\( \frac{1}{2}(I_{1}\omega_{1}^{2}+I_{2}\omega_{2}^{2}+I_{3}\omega_{3}^{2})+ V = E\)(1.5)

由角动量定理\(\dot{\vec{L}} = \vec{M}\)得欧拉动力学公式：

\(I_{1}\dot{\omega_{1}}-(I_{2}-I_{3})\omega_{2}\omega_{3}=M_{1}\)(1.6.1)

\(I_{2}\dot{\omega_{2}}-(I_{3}-I_{1})\omega_{3}\omega_{1}=M_{2}\)(1.6.2)

\(I_{3}\dot{\omega_{3}}-(I_{1}-I_{2})\omega_{1}\omega_{2}=M_{3}\)(1.6.3)

4.勒让德第一类椭圆积分和一些雅氏椭圆函数的定义：

对\(\int_{0}^{u}\frac{d\xi}{\sqrt{(1-\xi^2)(1-k^2\xi^2)}}\)(1.7)的积分：

若有\(\u\in[-1,1]\)和\(k\in[0,1]\)

我们可以换元，令\(\xi = sin(\alpha),u = sin(\phi)\)

即有\(\int_{0}^{\phi}\frac{d\alpha}{\sqrt{1-k^2sin^2(\alpha)}},\phi=arcsin(u)\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)(1.8)

这个积分无法用有限的基本初等函数表示，我们将这个积分的结果记作\(F(\phi,k)\)或\(F(arcsin(u),k)\)

可以求得它的级数表示：

\(F(\phi,k)=\phi+\sum_{n = 1}^{\infty}(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\int_{0}^{\phi}(ksin(\alpha))^{2n}d\alpha)\)(1.9)

特别地，如果\(\phi = \frac{\pi}{2}\)即\(u=1\)，这时(1.9)中求和号内的积分可以积出，此时称为勒让德第一类完全椭圆积分，记作\(K(k)\)，有\(K(k) = F(\frac{\pi}{2},k) = \frac{\pi}{2}(1+\sum_{n = 1}^{\infty}(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}k^n)^2)\)(1.10)

注意上面的!!并不是取完阶乘后再取一次，而是重阶乘，我第一次遇到的时候也以为是取两次，因为卡西欧是这么算的

这个很重要，不知道这个定义看不懂啊！！！(注意！这里的“！！！”不是三重阶乘，只是感叹号，包括本句句首的“！”也只是感叹号)

从上面似乎可以看出\(F(\phi,k)\)的定义域是\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\),但我们总可以使用被积函数的偶函数和周期函数特性，将其定义域延拓至整个实数集，我们有：

\(\int_{0}^{\phi+2c\pi}\frac{d\alpha}{\sqrt{1-k^2sin^2(\alpha)}}=\int_{0}^{\phi}\frac{d\alpha}{\sqrt{1-k^2sin^2(\alpha)}}+4c\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\alpha}{\sqrt{1-k^2sin^2(\alpha)}},\phi\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],c\in Z\)

即\(F(\phi+2c\pi,k) = F(\phi,k)+4cK(k),\phi\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],c\in Z\)

不妨设\(k = \frac{114514}{191981}\) ,作图即可直观地看到被积函数的性质：

注意！积分(1.7)时仍要确保\(\u\in[-1,1]\)

如果我们把k看作参量，可以得到它的反函数，记作\(am(\beta,k)\)

有\(\beta = F(\phi,k),\phi = am(\beta,k)\)(1.11)

定义函数：

\(sn(\beta,k)=sin(am(\beta,k))\)(1.12)

\(cn(\beta,k)=cos(am(\beta,k))\)(1.13)

\(dn(\beta,k) = \sqrt{1-k^2sn^2(\beta,k)}\)(1.14514)

椭圆函数作为数学的一个重要分支，肯定不止这些，我也是在学习理论力学的过程中发现需要用到临时学的，也仅仅刚好够用于求解刚体定点转动，有大佬懂的话还请科普

前置知识点就这些了，一会给出在哪里可以系统学习。

对了，给论坛提一下建议，就是这个公式编辑器能不能做到更加人性化一点呢？就这点我输了一个半小时（好像还有个鼠标移到上面公式编辑器那个按钮会乱蹦的bug……）

接下来说下这些知识可以在哪里系统学习：

1. 线性代数可以参考同济大学的线性代数，我就是看这本的，不过是真的烂啊，把初学者当欧拉还是牛顿啊！bilibili应该有些教程，我没看过，自己参考吧。

2. 欧拉角的定义就看那张图吧，欧拉角在飞控的开发中很重要啊，论坛内外应该都有不少介绍的

3. 刚体力学基础可以参考周衍柏先生的理论力学教程，写得很好，不过硬啃肯定有困难，哔哩哔哩也有一个讲得特别明白的视频，看刚体这一节就行了，前面不看也看得懂，无痛入门啊，链接放这了：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX/video/BV1xJ411s78q/?spm_id_from=XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXick&vd_source=dd348fe7fcf284e0ed80f49ff172deae

4. 这个只是学习必要的知识的话，可以看哔哩哔哩这个视频：物理学杂谈P5.孩子还不会椭圆积分怎么办？稳啦！手把手讲解！_哔哩哔哩_bilibili，系统学习的话参考王竹溪先生和郭敦仁先生的特殊函数概论，但我买来几乎就当个字典用……感觉好难
   

二、重刚体定点转动可解出解析解的情况的分类：

1. 欧拉-潘索情况：对刚体的三主轴惯量没有要求，但要求所有力作用于固定点，即\(\vec{M} = \vec{0}\)(2.1)

常见于忽略空气阻力的抛体运动下求解刚体的转动情况等无力矩转动问题，以及陀螺仪的分析，与刚体的一般运动密切相关。

  2.拉格朗日-泊松情况：要求三个主轴惯量至少有两个相等，且质心在动力对称轴上且不与固定点重合，常见于陀螺的分析。

  3.科凡律夫斯卡雅情况：要求\(2I_{1} =I_{2}=I_{3}\)，质心在惯量椭球赤道平面上。由于其求解涉及超几何函数，没学过，也没什么时间去学，再加上其适用情况很窄，故本文不讨论，有大佬懂的话还请补充。

值得说明的是，以上就以及是被找到的全部可解的情况了，其他的情况，都没找到解法，只能数值求解，就连这三种情况，求解方法也完全看不到共性。

我再网上找到的解法都是1.2.的，然而几乎都停在了导出欧拉动力力学方程的特殊情况那一步，这对有好奇心的人十分不友好，所以，接下来会详细阐述它们如何求解，并给出最终结果。在此之前，我们先看一个例子——周衍柏先生的理论力学教程中推导对称欧拉-潘索情况的方法（即1.情况多加一个至少两个主轴惯量相等的条件）。下面会发图。